تفاضلية ويكبيديا

زائر

معادلات تفاضلية
من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقاتها هذه المعادلات . تبرز المعادلات التفاضلية بشكل كبير في تطبيقات الفيزياء و الكيمياء ، وحتى النماذج الرياضية المتعلقة بالعمليات الحيوية و الاجتماعية و الإقتصادية .

يمكن تقسيم المعادلات التفاضلية إلى قسمين :معادلات تفاضلية نظامية( linear D.E ) تحتوي على توابع ذات متغير مستقل واحد و مشتقات هذا المتغير .
معادلات تفاضلية جزئية(partial D.E) تحتوي دوال رياضية لأكثر من متغير مستقل مع مشتقاتها الجزئية .

تعرف رتبة المعادلة التفاضلية على أنها أعلى رتبة لمشتق موجود في هذه المعادلة : فإذا حوت المعادلة مشتق أول و مشتق ثان فقط تعتبر من الرتبة الثانية ... وهكذا .

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولي تحتوي على مشتقات أولى فقط .

وتعرف درجة المعادلة : بأنها الأس (القوة) التي رفع إليها أعلى تفاضل في المعادلة .

[عدل]
طرق حل المعادلات التفاضلية

توجد طرق عديدة لحل المعادلات التفاضلية منها.طرق تحليلية Analytic Solution
طرق رقمية Numerical Solution

[1]

ويوجد أكثر من أسلوب للحل العددي وكذلك التحليلي

كما توجد معادلات مشهورة مثل معادلات لابلاس وبرنولي وغيرهم

راجع ما يلي :

[ http://www.physics.orst.edu/~rubin/nacphy/ComPhys/DIFFEQ/EXT/class/class.html

[عدل]
درجة المعادلة التفاضلية

- تتحدد درجة المعادلة التفاضلية حسب أس المشتق ذو الرتبة الأعلى .. مثلا إذا كانت المعادلة التفاضلية من الرتبة الثالثة ، أي أن أعلى تفاضل فيها هو التفاضل الثالث ، فدرجة المعادلة تتحدد حسب أس هذا التفاضل ، فإذا كان مرفوعا للأس 5 مثلا تكون المعادلة من الدرجة الخامسة ، وهكذا .

تنقسم المعادلات التفاضلية أيضا إلى خطية وغير خطية . وتكون المعادلة التفاضلية خطية بشرطين :

1- إذا كانت معاملات المتغير التابع والمشتقات فيها دوال في المتغير المستقل فقط أو ثوابت .

2- إذا كان المتغير التابع والمشتقات غير مرفوعة لأسس ، أي كلها من الدرجة الأولى .

وتكون غير خطية فيما عدا ذلك .

ملاحظة : كل معادلة تفاضلية خطية هي من الدرجة الأولى ، بينما ليست كل المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى هي خطية ، لأن الدرجة تتحدد حسب أس التفاضل الأعلى ، ومن الممكن أن تكون التفاضلات الأقل مرفوعة لأسس غير الواحد دون أن يؤثر ذلك على الدرجة ، وهذا يخل بشرط المعادلة الخطية .

- معادلة برنولي معادلة من الرتبة الأولى و الدرجة الأولى و ليست معادلة خطية: n≠1